Ассистент на кафедре - это педагогический работник со своими сроками призыва?

Прописан я в ЯНАО, где призыв осуществляется один раз в год - осенью, соответственно там же и получил приписное удостоверение, после школы получил отсрочку на 5 лет в связи с поступлением в ВУЗ , после получил отсрочку на 3 года, соответственно до июня 2013 года в связи с поступлением в аспирантуру.

Если я правильно понял, меня признают гражданином не прошедшим военную службу по призыву, не имея на то законных оснований. При этом выдадут соответствующую справку вместо ВБ. И могут ли возбудить административное или уголовное дело в связи с тем, что не прошел военную службу по призыву не имея на то законных оснований?

Да, в военном билете поставят отметку.
На сколько мне известно будут выдавать военный билет, но с соответствующей отметкой.
Для возбуждения уголовного дела не достаточно отметки о признании Вас не прошедшим военную службу не имея на то законных оснований.

Стоит ли мне рассчитывать на ВБ не служившего на законных основаниях?

К сожалению, пункт статьи, который регламентирует данный момент - позволяет признавать граждан не прошедшими военную службу не имея на то законных оснований - даже в указанном случае.
Данный закон достаточно сыр.
Статья 28 №53-ФЗ
1.1. При зачислении в запас граждан, не прошедших военную службу по призыву (за исключением граждан, не прошедших военную службу по призыву по основаниям, предусмотренным пунктами 1 и 2, подпунктом "в" пункта 3, пунктом 4 статьи 23, статьей 24 настоящего Федерального закона, либо в связи с отменой призывной комиссией субъекта Российской Федерации решения нижестоящей призывной комиссии), призывная комиссия выносит заключение о признании гражданина не прошедшим военную службу по призыву, не имея на то законных оснований.
Как видим в нем отсутствует указание на статью 25 ФЗ.

В связи с этим вопрос, могу ли я оперировать тем, что я являлся педагогическим работником в период с 1 октября по 31 декабря 2013 года и это является законным основанием для отсрочки?

Факт того, что Вы являетесь педагогическим работником - не является основанием для предоставления отсрочки от призыва. Это лишь устанавливает определенные законом сроки призыва.