может ли гражданин, в отношении которого было вынесено решение о том, что он не служил не имея на то законных оснований, обжаловать это решение по здоровью?

Да, может. Статья 28 53-ФЗ 1.1. При зачислении в запас граждан, не прошедших военную службу по призыву (за исключением граждан, не прошедших военную службу по призыву по основаниям, предусмотренным пунктами 1 и 2, подпунктом "в" пункта 3, пунктом 4 статьи 23, статьей 24 настоящего Федерального закона, либо в связи с отменой призывной комиссией субъекта Российской Федерации решения нижестоящей призывной комиссии), призывная комиссия выносит заключение о признании гражданина не прошедшим военную службу по призыву, не имея на то законных оснований. Пункт 1 статьи 23 53-ФЗ 1. От призыва на военную службу освобождаются граждане: а) признанные ограниченно годными к военной службе по состоянию здоровья.